三角形覆盖正方形的研究

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命题

如图1.0.1,等腰三角形GCD与正方形ABCD共边CD;CG、DG分别交AB于点E、点F. 则问不断增加等腰三角形GCD的高,能否使等腰三角形GCD完全覆盖住正方形ABCD?

证明/证伪

设正方形边长为a,三角形GCD的高为x,四边形EFCD的面积为y

方法一

ABCD是正方形A=B=90°ABAC于点ABD于点BAB//CDAECBFD都是直角三角形,其中A=B=90°,且GCDGEF三角形GEF的高是(xa),三角形GCD的高是xEF:CD=(xa):xEF=CDxax=a(xa)x=axa2x=aa2xAE=BF=12(ABEF)=12[a(aa2x)]=a22xtanBDF=tanACE=AEAC=BFBD=a22xaGCD完全覆盖正方形ABCD时,有GDC=GCD90°GDC=GCD=90°时,tanBDF=tan(90°GDC)=tanACE=tan(90°GCD)=tan0°=0AEAC=BFBD=a22xa=0a22x=0a2=0a=0此时原式不成立,所以等腰GCD不能完全覆盖住正方形ABCDGDC=GCD>90°时,GDC+GCD>180°三角形内角和为180°此时GCD不是三角形,不符合题设,所以等腰GCD不能完全覆盖住正方形ABCD综上所述,等腰GCD不能完全覆盖住正方形ABCD\because ABCD\text{是正方形} \\ \therefore \angle A=\angle B=90\degree\text{,}AB\bot AC\text{于点}A\text{且}\bot BD\text{于点}B\text{,}AB\text{//}CD \\ \therefore \bigtriangleup AEC\text{与}\bigtriangleup BFD\text{都是直角三角形,其中}∠A=∠B=90\degree\text{,且}\bigtriangleup GCD\text{∽}\bigtriangleup GEF \\ \text{又}\because \text{三角形}GEF\text{的高是}\left( x-a \right) \text{,三角形}GCD\text{的高是}x \\ \therefore EF:CD=\left( x-a \right) :x \\ \therefore \mathrm{EF}=\mathrm{CD}\frac{x-a}{x}=\frac{a\left( x-a \right)}{x}=\frac{ax-a^2}{x}=a-\frac{a^2}{x} \\ \therefore AE=BF=\frac{1}{2}\left( AB-EF \right) =\frac{1}{2}\left[ a–\left( a-\frac{a^2}{x} \right) \right] =\frac{a^2}{2x} \\ \therefore \tan \angle BDF=\tan \angle ACE=\frac{AE}{AC}=\frac{BF}{BD}=\frac{\frac{a^2}{2x}}{a} \\ \text{当}\bigtriangleup GCD\text{完全覆盖正方形}ABCD\text{时,有}∠GDC=∠GCD\geqslant 90\degree \\ \text{当}∠GDC=∠GCD=90\degree\text{时,} \\ \tan ∠BDF=\tan \left( 90\degree-∠GDC \right) =\tan ∠ACE=\tan \left( 90\degree-∠GCD \right) =\tan 0\degree=0 \\ \therefore \frac{AE}{AC}=\frac{BF}{BD}=\frac{\frac{a^2}{2x}}{a}=0 \\ \therefore \frac{a^2}{2x}=0\text{,}a^2=0\text{,}a=0 \\ \text{此时原式不成立,所以等腰}\bigtriangleup GCD\text{不能完全覆盖住正方形}ABCD \\ \text{当}∠GDC=∠GCD>90\degree\text{时,} \\ \text{有}∠GDC+∠GCD>180\degree \\ \because \text{三角形内角和为}180\degree \\ \therefore \text{此时}GCD\text{不是三角形,不符合题设,所以等腰}\bigtriangleup GCD\text{不能完全覆盖住正方形}ABCD \\ \text{综上所述,等腰}\bigtriangleup GCD\text{不能完全覆盖住正方形}ABCD

方法二

ABCD是正方形AB//CDGCDGEF,四边形EFCD是梯形GEF的高是(xa)GCD的高是xEF:CD=(xa):xEF=CDxax=a(xa)x=axa2x=aa2xS梯形EFCD=12AC(EF+CD)=12[a(aa2x)+a]=12a(2aa2x)=a2a32x若要让等腰GCD完全覆盖住正方形ABCD,则显然有S梯形EFCD=S正方形ABCD于是可得a2=a2a32x,则a32x=0,故a3=0a=0此时原式无意义,所以等腰GCD不能完全覆盖住正方形ABCD\because ABCD\text{是正方形} \\ \therefore AB//CD \\ \therefore \bigtriangleup GCD\text{∽}\bigtriangleup GEF\text{,四边形}EFCD\text{是梯形} \\ \text{又}\because \bigtriangleup GEF\text{的高是}\left( x-a \right) \text{,}\bigtriangleup GCD\text{的高是}x \\ \therefore EF:CD=\left( x-a \right) :x \\ \therefore \mathrm{EF}=\mathrm{CD}\frac{x-a}{x}=\frac{a\left( x-a \right)}{x}=\frac{ax-a^2}{x}=a-\frac{a^2}{x} \\ \therefore S_{\text{梯形}EFCD}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}\left( \mathrm{EF}+\mathrm{CD} \right) =\frac{1}{2}\left[ a\left( a-\frac{a^2}{x} \right) +a \right] =\frac{1}{2}a\left( 2a-\frac{a^2}{x} \right) =a^2-\frac{a^3}{2x} \\ \text{若要让等腰}\bigtriangleup GCD\text{完全覆盖住正方形}ABCD\text{,则显然有}S_{\text{梯形}EFCD}=S_{\text{正方形}ABCD} \\ \text{于是可得}a^2=a^2-\frac{a^3}{2x}\text{,则}\frac{a^3}{2x}=0\text{,故}a^3=0\text{,}a=0 \\ \text{此时原式无意义,所以等腰}\bigtriangleup GCD\text{不能完全覆盖住正方形}ABCD

综上所述,等腰三角形GCD无法完全覆盖住正方形ABCD.

推广

从方法二的证明过程中,可以发现三角形GCD可以不是等腰三角形,此时结论依旧成立。所以我们有真命题:在图1.0.1三角形GCD无法完全覆盖住正方形ABCD.

探究

在方法二中,我们得出了正方形ABCD的边长a,三角形GCD的高x与梯形EFCD面积y之间的关系式,亦或者说是函数即y=a2a32xy=\mathrm{a}^2-\frac{\mathrm{a}^3}{2\mathrm{x}}

那么,若是不让三角形GCD完全覆盖正方形ABCD(不让三角形GCD的高等于无限),而是让其高尽量长,趋近于无限呢?

此时,可得limx(a2a32x)=a2\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\left( a^2-\frac{a^3}{2x} \right) =a^2

于是有当三角形GCD的高x趋近于无限时,梯形EFCD的面积趋近于正方形ABCD的面积a², 此时三角形GCD在正方形内的面积趋近正方形ABCD的面积.

结论

1.0.1中的三角形GCD无法完全覆盖住正方形ABCD,但若三角形GCD的高趋近于无限,则此时三角形GCD在正方形内的面积趋近正方形ABCD的面积.


三角形覆盖正方形的研究
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作者
序炁
发布于
202254
更新于
202254
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